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Problemas de números enteros
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OPERACIONES
Números enteros y valor absoluto
El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.
Operaciones con números enteros
Suma de números enteros
Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.
Ejemplos números enteros del mismo signo
(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9
(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del mas grande en valor absoluto).
Ejemplos números enteros de distinto signo
a) (+20) + (-10) = 20 -10 = +10
20 -10 =10, el mas grande es +20, se pone +10
b) (- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5
8 - 3 = 5, el mas grande es el - 8, se pone -5
c) (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9
11 - 2 = 9, el mas grande es el 11, se pone +9
Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.
a) (+8) · (+3) = + 24
b) (-3) · (-2) = + 6
c) (+4) · ( -1) = - 4
d) (-2) · (+4) = - 8
Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.
a)(-15) : (-15) = +1
b) 8 : 4 = +2
c) - 4 : (-2) = +2
d) 10 : 2 = +5
PROPIEDADES DE NÚMEROS ENTEROS
1. INTERNA:LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CUMPLE LA PROPIEDAD SI EL RESULTADO ES UN NUMERO ENTERO.
a + b 
3 + (−5)
3 + (−5)
2. ASOCIATIVA:AL SUMAR MÁS DE DOS NÚMEROS ENTEROS Y ASOCIAR LOS SUMANDOS DE DIFERENTE FORMA SE OBTIENE EL MISMO RESULTADO. (a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. CONMUTATIVA:SI SE INTERCAMBIAN LOS SUMANDOS CUANDO SUMAN DOS NÚMEROS ENTEROS EL RESULTADO NO SE ALTERA.
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. ELEMENTO NEUTRO:TODO NÚMERO SUMADO CON CERO DA EL MISMO NÚMERO
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. ELEMENTO OPUESTO: TODO NÚMERO SUMADO CON SU OPUESTO DA COMO RESULTADO CERO.
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5
NÚMERO ENTERO
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los números naturales (1, 2, 3, ...), a los números negativos(opuestos respecto la suma) de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS
En esta unidad didáctica abordamos el tema de los números enteros.
Este es un tema especialmente difícil para el alumnado hasta ahora acostumbrados a trabajar con los números naturales y los decimales. Con los enteros aparece un nuevo dato: el signo que nos da nueva información diferente según el contexto en el que se aplique.
Este es un tema especialmente difícil para el alumnado hasta ahora acostumbrados a trabajar con los números naturales y los decimales. Con los enteros aparece un nuevo dato: el signo que nos da nueva información diferente según el contexto en el que se aplique.
Por otra parte, las reglas que rigen las operaciones con números enteros son reglas algebraicas y chocan en ocasiones con la lógica utilizada hasta el momento. No descansan siempre en una demostración empírica como es el caso de las operaciones de números naturales.
Este conjunto numérico supone un salto cualitativo importante para el alumnado y es la base de muchos otros temas.
Es importante, por tanto, que se ejerciten lo suficiente hasta que logren nominarlo.
Es importante, por tanto, que se ejerciten lo suficiente hasta que logren nominarlo.
Esta unidad contiene explicaciones y ejercicios para trabajar en clase los primeros conceptos y dar los primeros pasos en este tema. Se pretende introducir al alumnado en este nuevo campo numérico.
