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Archive for agosto 2016

JUEGOS CON NÚMEROS ENTEROS











JUEGOS CON ENTEROS





Problemas de números enteros
  • 1. En una estación de esquí la temperatura más alta ha sido de -20 C, y la más baja, de -230 C. ¿Cuál ha sido la diferencia de temperatura?
  • 2. Un avión vuela a 11000 m y un submarino está a -850 m. ¿Cuál es la diferencia de altura entre ambos?
  • 3. En la cuenta corriente del banco tenemos 1250 €. Se paga el recibo de la luz, que vale 83 €; el recibo del teléfono, que vale 37 €, y dos cheques de gasolina de 40 € cada uno. ¿Cuánto dinero queda en la cuenta corriente?
  • 4. Pitágoras nació el año 585 a.C y murió el año 495 a.C ¿Cuántos años vivió Pitágoras?
  • 5. Compramos un frigorifico. Cuando lo enchufamos a la red eléctrica está a la temperatura ambiente, que es de 250 C. Si cada hora baja la temperatura 50 C, ¿a qué temperatura estará al cabo de 6 horas?
  • 6. He viajado desde San Fernando donde la temperatura era de 11 grados hacia Granada que la temperatura es de 3 grados. ¿Cuál ha sido la diferencia de temperatura?
  • 7. Cristian vive en el 4º piso, se sube en el ascensor y baja al sótano 2, ¿Cuántos pisos ha bajado?
  • 8. Le debo a mi amigo 10 €. Me ha tocado en la loteria de Navidad 100 €, lo primero que hago es pagarle a mi amigo. ¿Cuánto dinero tengo?
  • 9. Tengo en el banco 60 €, me ha llegado una factura de 100 €, ¿cuánto me falta para pagar la factura?
  • 10. Si estoy en el piso 2º y bajo 3 pisos ¿en cual me sitúo?

PROBLEMAS



PROBLEMAS RESUELTOS

1 Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?
Solución: 
14 − (−63) = 14 + 63 = 77 años
2Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
Solución: 
48 − (−975) = 48 + 975 = 1023 años
3 ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC?
¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?
Solución:
−18 ºC − 4 ºC = −22 ºC                Solución:
4 ºC − (−18 ºC) = −22 ºC = 4 ºC + 18 ºC = 22 ºC
4 La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
Soluciones: 
|−81| : 9 = 81 : 9 =9
300 · 9 = 2 700 m
5En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Soluciones: 
800 + 25 · 15 − (30 · 15) = 800 + 375 − 450 = 1175 − 450 =725 l

PROBLEMAS Y EJERCICIOS


                        OPERACIONES

Números enteros y valor absoluto


El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.
Números enteros

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.
Ejemplos números enteros del mismo signo
    (+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9
    (- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9
Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del mas grande en valor absoluto).
Ejemplos números enteros de distinto signo
  a)  (+20) + (-10) = 20 -10 = +10
   20 -10 =10, el mas grande es +20, se pone +10
  b)  (- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5
   8 - 3 = 5, el mas grande es el - 8, se pone -5
  c)  (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9
  11 - 2 = 9, el mas grande es el 11, se pone +9

Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos

Operaciones con enteros
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.
  a)  (+8) · (+3) = + 24
  b)  (-3) · (-2) = + 6
  c)  (+4) · ( -1) = - 4
  d)  (-2) · (+4) = - 8
Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.
  a)(-15) : (-15) = +1
  b)  8 : 4 = +2
  c)  - 4 : (-2) = +2
  d)  10 : 2 = +5

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS




PROPIEDADES DE NÚMEROS ENTEROS

                                               
1. INTERNA:LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS CUMPLE LA PROPIEDAD SI EL RESULTADO ES UN NUMERO ENTERO.
a + b Pertenece enteros     3 + (−5) Pertenece enteros
2. ASOCIATIVA:AL SUMAR MÁS DE DOS NÚMEROS ENTEROS Y ASOCIAR LOS SUMANDOS DE DIFERENTE FORMA SE OBTIENE EL MISMO RESULTADO. (a + b) + c = a + (b + c) ·
       (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
       0 = 0
3. CONMUTATIVA:SI SE INTERCAMBIAN LOS SUMANDOS CUANDO SUMAN DOS NÚMEROS ENTEROS EL RESULTADO NO SE ALTERA. 
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. ELEMENTO NEUTRO:TODO NÚMERO SUMADO CON CERO DA EL MISMO NÚMERO
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. ELEMENTO OPUESTO: TODO NÚMERO SUMADO CON SU OPUESTO DA COMO RESULTADO CERO.
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5

PROPIEDADES DE NÚMEROS ENTEROS



                           NÚMERO  ENTERO


La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los números naturales (1, 2, 3, ...), a los números negativos(opuestos respecto la suma) de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra  = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarserestarsemultiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS




INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS ENTEROS


  En esta unidad didáctica abordamos  el tema de los números enteros.
Este es un tema especialmente difícil para el alumnado hasta ahora acostumbrados a trabajar con los números naturales y los decimales. Con los enteros aparece un nuevo dato: el signo que nos da nueva información diferente según el contexto en el que se aplique. 
Por otra parte, las reglas que rigen las operaciones con números enteros son reglas algebraicas y chocan en ocasiones con la lógica utilizada hasta el momento. No descansan siempre en una demostración empírica como es el caso de las operaciones de números naturales.

Este conjunto numérico supone un salto cualitativo importante para el alumnado y es la base de muchos otros temas.
Es importante, por tanto, que se ejerciten lo suficiente hasta que logren nominarlo. 
Esta unidad contiene explicaciones y ejercicios para trabajar en clase los primeros conceptos y dar los primeros pasos en este tema. Se pretende introducir al alumnado en este nuevo campo numérico.
          
                             


NUMEROS ENTEROS



                INVENTOS MATEMÁTICOS

 Los números Fibonacci
También surgió en India la sucesión de números Fibonacci, con los que en matemáticas se conoce a la suma infinita de números naturales.
Este orden considera  ir sumando los números anteriores, comenzando con el 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 y así infinitamente.
Esta sucesión fue descrita por primera vez por los matemáticos Virahanka y Gopala, que sirvió como referencia para los primeros escritos del famoso matemático indio Pingala.
inventos india

Ecuaciones de Segundo Grado
Fue en el siglo séptimo cuando Brahmagupta, un matemático y astrónomo indio, encontró la primera fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.
El sistema decimal o el sistema de numeración hindú, que fue un precursor del sistema numérico árabe, fue desarrollado en India entre los siglos primero y sexto.
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 Juegos de cartas
El popular juego de cartas se originó en India y fue conocido como “Krida – patram”, que literalmente significa “trapos pintados para jugar”.
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Cirugía de cataratas
El médico indio Sushruta, en el siglo sexto a C. fue el primero en tener conocimientos para realizar la cirugía de cataratas.
Con el tiempo la técnica se extendió a China y a otros países de Asia, hasta donde acudían científicos occidentales para conseguir operaciones y para aprender el procedimiento.
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Diamantes
India fue la única fuente de diamantes en el mundo, hasta el descubrimiento de las minas en Brasil en el siglo 18. Los diamantes fueron valorados y extraídos por primera vez en India, hace casi 5.000 años.
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Agua lunar
El satélite Chandrayaan-1, de la Agencia India de Investigación Espacial (ISRO, en inglés), hizo el sorprendente descubrimiento en 2008 de que la luna no es un pedazo de roca seca.
La misión concluyó sobre la topografía lunar, señalando que existían regiones polares con agua en forma de hielo.
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Telegrafía sin hilos
Todos sabemos que Marconi recibió el Premio Nobel de Física en 1909 por su contribución al desarrollo de la telegrafía sin hilos. Pero la primera demostración pública de las ondas de radio para la comunicación fue hecha por Sir Jagdish Chandra Bose en 1895, dos años antes de demostración que realizó Marconi en Inglaterra.
Sir Bose fue acreditado por su invención a título póstumo, pero más de un siglo después, de manera que ni sus descendientes disfrutaron del logro que ciertamente cambió la historia de la comunicación.
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Inodoro
La civilización del Valle del Indo era muy avanzada en la ingeniería hidráulica, por lo que diseñaron un sistema que recolectara las aguas residuales de los hogares, dando origen al primer tipo de alcantarillado y también a los primeros inodoros.
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Foto: Agencias
16 – El código binario
Los números binarios fueron descritos por primera vez por el matemático Pingala en el 200 a C, en su tradicional tratado de matemáticas llamado Chanda-shastra. El documento es el principal escrito en sánscrito sobre las métricas largas en las matemáticas.
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Tinta
Muchas culturas y civilizaciones antiguas utilizaron la tinta para desarrollar sus primeras escrituras, pero la fuente de pigmento de carbono, que posee la tinta de India, llamada musi, fue utilizada en la antigua India en el siglo cuarto antes de Cristo.
La historia también señala que la tradición de escribir con tinta, utilizando una aguja de punta fina, fue desarrollada en el sur de India.
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 Acero
La industria del acero se desarrolló casi dos mil años antes que occidente en la Antigua India. Además, una de las grandes hazañas de la metalúrgica fue elaborar un globo de metal sin uniones, que también se produjo por primera vez en Cachemira.
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 Fibra Óptica
El Doctor Narinder Singh Kapany es pionero en la tecnología y el padre de la actual Fibra Óptica, pese a que la Revista Fortune también lo consideró como uno de los más importantes “héroes en el olvido”.
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 Cirugía plástica
Aunque usted no lo crea, India también es pionera en el desarrollo de las primeras cirugías plásticas, que se llevaron a cabo en India desde el año 2000 antes de Cristo.
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GRANDES INVENTOS MATEMATICOS



GRANDES PENSADORES MATEMÁTICOS

                             
Albert Einstein  (UlmImperio alemán14 de marzo de 1879-PrincetónEstados Unidos18 de abril de 1955) fue un físico alemán de origen judío, nacionalizado después suizo y estadounidense. Es considerado como el científico más conocido y popular del siglo XX.
En 1905, cuando era un joven físico desconocido, empleado en la Oficina de Patentes de Berna, publicó su teoría de la relatividad especial. En ella incorporó, en un marco teórico simple fundamentado en postulados físicos sencillos, conceptos y fenómenos estudiados antes por Henri Poincaré y por Hendrik Lorentz. Como una consecuencia lógica de esta teoría, dedujo la ecuación de la física más conocida a nivel popular: la equivalencia masa-energía, E= mc². Ese año publicó otros trabajos que sentarían bases para la física estadística y la mecánica cuántica.

Johann Karl Friedrich Gauss  (Brunswick30 de abril de 1777 – Gotinga23 de febrero de 1855), fue un matemático,astrónomo, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra,el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.


PITAGORAS


Pitágoras nº1
            Pitágoras:  nació en la isla de Samos (Grecia), en el 570 a. C. y murió en Metaponto en el 469 a. C., hijo de Mnesarco. Fue discípulo de Tales  y de Fenecidas de Siria, estudió en la escuela de Mileto. Viajó por Oriente Medio (Egipto y Babilonia). Sufrió el exilio para escapar de la tiranía del dictador Samio Polícrates, por lo que vagabundeó hasta establecerse  en el 531 a. C. en las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona al sur de Italia. Se cree que inventó (si no él sus discípulos), las tablas de multiplicar y que fue el primero en demostrar el conocido Teorema de Pitágoras sobre la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque ya los egipcios y los babilonios lo usaban en sus cálculos, construcciones, etc..., pero sin haberlo demostrado.
    Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras


PENSADORES MATEMATICOS

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